题目内容
已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）a＞0，求f（x）的单调增区间．
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）a＞0，求f（x）的单调增区间．
分析：（1）求导数，利用导数的几何意义求切线方程．
（2）利用导数求函数的单调增区间．
（2）利用导数求函数的单调增区间．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-2ax，
因为f′（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f′（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0…（6分）
（2）令f′（x）=0，解得x1=0，x2=
，
＞0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞
，或x＜0，
即f（x）在（-∞，0），(
a，+∞)上单调递增…（6分）
因为f′（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f′（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0…（6分）
（2）令f′（x）=0，解得x1=0，x2=
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
所以由f′（x）＞0，解得x＞
| 2a |
| 3 |
即f（x）在（-∞，0），(
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性．
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