Question

已知a是实数，函数f（x）=ax²-（1+2a）x+2，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：分类讨论（1）若a=0，令f（x）=0，解得x=2，可得函数y=f（x）在区间[-1，1]上没有零点；（2）当a≠0时，可解得解得x=

1

a

或x=2，要使函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，需-1≤

1

a

≤1，解之可得a的范围，综合可得．

解答：解：（1）若a=0，则f（x）=-x+2，令f（x）=0，解得x=2…（2分）
∴函数y=f（x）在区间[-1，1]上没有零点，故a≠0…（4分）
（2）当a≠0时，f（x）=（ax-1）（x-2）
由f（x）=0，解得x=

1

a

或x=2…（8分）
要使函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，则有-1≤

1

a

≤1…（10分）
解得a≤-1或a≥1…（13分）
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）．        …（14分）

点评：本题考查函数的零点，涉及分类讨论的思想，属基础题．