Question

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域为[

1

2

m，

1

2

n]，那么就称y=f（x）为“好函数”．现有f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）是“好函数”，则k的取值范围是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．(-∞，

  1

  4

  )
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“好函数”，从而可构造函数f(x)=

1

2

x，转化为求loga(ax+k)=

1

2

x有两异正根，k的范围可求．

解答：解：因为函数f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“好函数”，
方程f(x)=

1

2

x必有两个不同实数根，
∵loga(ax+k)=

1

2

x?ax+k=a

x

2

?ax-a

x

2

+k=0，
∴方程t²-t+k=0有两个不同的正数根，k∈(0，

1

4

)．
故选C．

点评：本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于难题．