Question

如图,三棱锥V—ABC中,VA⊥底面ABC,∠ABC=90°,VA=2,VB=6,VC=2.

(1)求证:V、A、B、C四点在同一球面上,并求该球面面积;

(2)求VC与AB所成的角.

Answer 1

(1)证明:取VC中点O,VA⊥面ABC,ABC⊥BC,由三垂线定理知VB⊥BC,

    故△VAC、△VBC均为直角三角形.

    OA=OB=OC=OV=VC,

    故V、A、B、C四点共球,该球直径为VC.

    VC==2,

    S_球面=4π(2)²=8π.

(2)解:引CQ∥AB交圆于D,则∠VCD(或其补角)是VC与AB所成的角,

    ∠ABC=90°,AC是圆的直径,

    CD⊥AD,由三垂线定理CD⊥VD,

    又CD=AB=,VC=2,

    在Rt△VCD中,∠VCD=60°.