Question

已知圆x²+y²+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，
（1）求k、b的值；
（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称，利用垂直以及线段的中点在轴上，解方程组求得k、b的值．
（2）公共弦所在的直线2x-y+5=0，利用点到直线的距离公式求出弦心距d，由cos= 求得的值，
即可得到∠AOB的度数．
解答：解：（1）圆x²+y²+8x-4y=0即 （x+4）²+（y-2）²=20，表示以M（-4，2）为圆心，半径等于2的圆．
由于另一个圆的圆心是原点O，OM的中点为N（-2，1），OM的斜率K==-．
再由2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称，可得 ，解得 ．
（2）由上可知，直线y=kx+b即y=2x+5，即2x-y+5=0，且此直线是公共弦所在的直线．
弦心距为d==，故cos==，
∴=60°
故∠AOB=120°．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点关于某直线对称的性质，属于中档题．