Question

已知点P(4，4)，圆C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3)与椭圆E：(a＞b＞0)有一个公共点A(3，1)，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

(1)求m的值与椭圆E的方程；

(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)点A代入圆C方程， 　　得(3－m)2＋1＝5． 　　∵m＜3，∴m＝1．圆C：． 　　设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0． 　　∵直线PF1与圆C相切，∴．解得． 　　当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去． 　　当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1(－4，0)，F2(4，0)．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2． 　　椭圆E的方程为：． 　　(Ⅱ)，设Q(x，y)，， 　　．∵，即， 　　而，∴－18≤6xy≤18． 　　则的取值范围是[0，36]． 　　的取值范围是[－6，6]． 　　∴的取值范围是[－12，0]．