Question

已知过点A（4，6）的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（4，0），直线l过点F且与双曲线右支交于点M、N，点B为双曲线右准线与x轴的交点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若△BMN的面积为36

5

，求直线l的方程；
（3）若点P为点M关于x轴的对称点，求证：B、P、N三点共线．

Answer 1

分析：（1）把点A代入双曲线方程求得a和b的关系，进而根据焦点坐标求得c，可知a和b的另一关系式，联立求得a和b，则双曲线的方程可得．
（2）设直线方程，与双曲线方程联立消去x，设出M，N的坐标，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而根据直线l与双曲线右支相交，
判断出x₁x₂＜0求得t的范围，进而利用三角形面积公式表示出△BMN的面积求得t，则直线l的方程可得．
（3）根据点M的坐标表示出点P的坐标，进而分别表示出

BP

和

BN

，进而求得

BP

-

BN

=0，判断出

BP

和

BN

共线，进而推断出B，P，N三点共线．

解答：解：（1）由题意得

16 a2 - 36 b2 =1 a2+b2=16

，求得a=2，b=2

3

∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1

（2）设直线的方程为x=ty+4，
由

x=ty+4 x2 4 - y2 12 =1

消去x得（3t²-1）y²+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=

-24t

3t2-1

，y₁y₂=

36

3t2-1

∵直线l与双曲线右支相交，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²•

36

3t2-1

+4t•

-24t

3t2-1

+16＞0
∴

3t 2+4

3t2-1

＜0，t²＜

1

3

∴S_△BMN=

1

2

•|BF|•|y₁-y₂|=

18 1+t2

|3t2-1|

=36

5

∴t²=

19

45

或

1

4

，∵t²＜

1

3

，∴t=±

1

2

∴直线l的方程为2x+y-8=0或2x-y-8=0

（3）∵点P为点M关于x轴的对称点，则p（x₁，-y₁），
∴

BP

=（x₁-1，-y₁），

BN

=（x₁，-y₁），
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=2t•

36

3t2-1

+3•

-24t

3t2-1

=0
∴

BP

与

BN

共线，
∴B，P，N三点共线．

点评：本土主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．