Question

9．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，a₁=2，且a₄-1，a₅，3a₄+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）若b_n=log₂（a_n•a_n+1），${c_n}=\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得出b_n=2n+5，${c_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由题意知3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，∴a₅=2a₄，∴q=2．
∴${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}={2^{n+2}}$．
（2）由（1）可得b_n=n+2+n+3=2n+5，${c_n}=\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]$=$\frac{n}{14n+49}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．