Question

18．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞c）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得y轴恰好平分∠ACB？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意直线BC的斜率为k_BC=1，直线AC的斜率为k_AC=-1，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出存在满足条件的k值．

解答 解：（1）设焦点F（c，0），则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，从而a²=2c²，
由题意有${（{\frac{c}{a}}）^2}+\frac{1}{b^2}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{b^2}=1$，
解得b²=2，又a²=b²+c²，于是2c²=2+c²，
解得c²=2，a²=4，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（2）依题意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，
于是直线BC的斜率为k_BC=1，直线AC的斜率为k_AC=-1，…（6分）
则${k_{AC}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=-1，{k_{BC}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=1$，
∴x₁=y₀-y₁=-k（x₁-1）+y₀，
x₂=y₂-y₀=k（x₂+1）-y₀，
相加得x₁+x₂=k（x₂-x₁）．…（8分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$消去y，整理得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{2}{{1+2{k^2}}}$．…（10分）
把x₁+x₂=k（x₂-x₁）两边同时平方，得${（{{x_1}+{x_2}}）^2}={k^2}[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]$，
代入可得${（{-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}}）^2}={k^2}[{{{（{-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}}）}^2}-4×（{-\frac{2}{{1+2{k^2}}}}）}]$，
化简可得4k²+1=2，或k²=0，解得$k=±\frac{1}{2}$，或k=0，
即可存在满足条件的k值，$k=±\frac{1}{2}$，或k=0．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．