Question

【题目】已知函数f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，

g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x1＜x2，g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2．再构造函数h（x）=g（x）﹣x，转化为h（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h（x）导函数恒非负的条件，即得a的取值范围

试题解析：解：（1）∵f（x）=x3+x2+mx，∴f′（x）=3x2+3x+m，

∵f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．

∴f（x）=x3+x2﹣6x，则f′（x）=3（x2+x﹣2）=3（x﹣1）（x+2）．

∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，

则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；

（2）g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx

=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx．

假设存在实数a使得对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立，

不妨设0＜x1＜x2，只要g（x1）﹣g（x2）＜x1﹣x2，

即：g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2．

令h（x）=g（x）﹣x，只要 h（x）在（0，+∞）为增函数即可．

又函数h（x）=g（x）﹣x=，

则h′（x）==．

要使h'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立，

即2a≤2x3+3x2﹣12x．

令t（x）=2x3+3x2﹣12x，则t′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1）．

∴当x∈（0，1）时，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t（x）单调递增，

则t（x）min=t（1）=﹣7．

∴2a≤﹣7，得a．

∴存在实数a，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立．