题目内容
各项均为正数的数列{an}，满足a1=1，
-
=2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和Sn．
| a | 2n+1 |
| a | 2n |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
| an2 |
| 2n |
（1）因为an+12-an2=2，
所以数列{
}是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以
=1+(n-1)×2=2n-1．…（4分）
因为an＞0，所以an=
（n∈N*）．…（6分）
（2）由（1）知，an=
，所以
=
．…（7分）
所以Sn=
+
+
+…+
+
，①…（8分）
则
Sn=
+
+
+…+
+
，②…（9分）
①-②得，
Sn=
+
+
+
+…+
-
…（11分）
=
+2(
+
+
+…+
)-
=
+2×
-
…（12分）
=
-
．…（13分）
所以Sn=3-
．…（14分）
所以数列{
| a | 2n |
所以
| a | 2n |
因为an＞0，所以an=
| 2n-1 |
（2）由（1）知，an=
| 2n-1 |
| an2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n |
所以Sn=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 5 |
| 24 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
①-②得，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 24 |
| 2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
1-
|
| 2n-1 |
| 2n+1 |
=
| 3 |
| 2 |
| 2n+3 |
| 2n+1 |
所以Sn=3-
| 2n+3 |
| 2n |
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