Question

已知直线l分别与x轴、y轴交于A（a，0），B（0，b）点，且和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，（其中a＞2，b＞2）．
（1）求a，b应满足什么条件；      
（2）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化为标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，根据直线和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论；
（2）由（1），结合两点间的距离公式，利用基本不等式，求线段AB长度的最小值．

解答：解：（1）由题意，直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，
圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化为标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=1．
∵直线和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，
∴

| 1 a + 1 b -1|

1 a2 + 1 b2

=1，
化简可得ab-2a-2b+2=0；
（2）ab-2a-2b+2=0可化为（a-2）（b-2）=2，
设a-2=m，b-2=n，则a=2+m，b=2+n，m＞0，n＞0，mn=2．
|AB|=

a2+b2

=

(2+m)2+(2+n)2

=

8+m2+n2+4(m+n)

≥

8+2mm+8 mn

=

12+8 2

=2+2

2

，
当且仅当m=n时，取等号，此时线段AB长度的最小值为2+2

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．