Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．
（1）求证：（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，其圆心为（1，1），半径为1依题设直线l：

x

a

+

y

b

=1，由圆C与l相切能够证明（a-2）（b-2）=2；
（2）设线段AB中点为M(x，y)，由中点坐标公式得

x= a 2 y= b 2

?

a=2x b=2y

．由此能够得到所求的轨迹方程．
（3）S△AOB=

1

2

ab．由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)．再由基本不等式能够得到△AOB面积的最小值．

解答：解：（1）∵圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，∴其圆心为（1，1），半径为1依题设直线l：

x

a

+

y

b

=1，（2分）
由圆C与l相切得：1=

|a+b-ab|

a2+b2

?(a-2)(b-2)=2（4分）
（2）设线段AB中点为M(x，y)，由中点坐标公式得

x= a 2 y= b 2

?

a=2x b=2y

．（6分）
代入（a-2）（b-2）=2可得2（x-1）（y-1）=1（x＞1）即为所求的轨迹方程．（8分）
（3）S△AOB=

1

2

ab．由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)．（10分）a+b≥2

ab

?ab-4

ab

+2≥0?

ab

≥2+

2

．（11分）当且仅当a=b=2+

2

时，△AOB的面积的最小值为3+2

2

（12分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．