Question

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为

 

．

Answer 1

分析：几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2

3

，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，点的半径，做出体积．

解答：解：由三视图知，几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2

3

，底边上的高是1，
在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，
以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（-1，

3

，0）
∵（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²，①
x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，②
(x+1)2+(y-

3

)2+z2=x2+y2+z2，③
∴x=1，y=

3

，z=1，
∴球心的坐标是（1，

3

，1），
∴球的半径是

12+( 3 )2+12

=

5

∴球的体积是

4

3

π×(

5

)3=

20 5 π

3

，
故答案为：

20 5 π

3

点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．