Question

已知函数

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）极小值为1+ln2，函数无极大值；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先确定函数的定义域（此步容易忽视），把代入函数，再进行求导，列的变化情况表，即可求函数的极值；（Ⅱ）先对函数求导，得，再对分和两种情况讨论（此处易忽视这种情况），由题意函数在区间是增函数，则对恒成立，即不等式对恒成立，从而再列出应满足的关系式，解出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，      1分

，当a=0时，，则，       3分

∴的变化情况如下表

x	(0，)		(，+∞)
	-	0	+
		极小值

∴当时， 的极小值为1+ln2，函数无极大值.                7分

（Ⅱ）由已知，得，  8分

若,由得,显然不合题意，       9分

若∵函数区间是增函数，

∴对恒成立，即不等式对恒成立，

即 恒成立，  11分

故，而当，函数，  13分

∴实数的取值范围为．                            14分

另解: ∵函数区间是增函数，

对恒成立，即不等式对恒成立，

设，恒成立恒成立，

若，由得，显然不符合题意；

若，由，无解，显然不符合题意；

若， ，故，解得，所以实数的取值范围为．

考点：1、函数的极值；2、导函数的性质及综合应用．