Question

已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，求：
（1）t为何值时，P点在x轴上？P点在y 轴上？P点在第二象限？
（2）是否存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，知

OA

=(1，2)，

AB

=(3，3)，

OP

=(1+3t，2+3t)，由此能求出结果．
（2）假设存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形，则

OP

=

AB

，即1+3t=3，且2+3t=3，不成立．所以存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形．

解答：解：（1）∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，
∴

OA

=(1，2)，

AB

=(3，3)，∴

OP

=(1+3t，2+3t)，当P在x轴上时，
∵P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-

2

3

；
当P在y轴上时，
∵P在y轴上，则1+3t=0，所以t=-

1

3

；
当P在第二象限时，
∵P在第二象限，则1+3t＜0且2+3t＞0，
所以-

2

3

＜t＜-

1

3

．
（2）假设存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形，
则

OP

=

AB

，
即1+3t=3，且2+3t=3，
∴t=

2

3

，且t=

1

3

，不成立．
所以不存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形．

点评：本题考查平面向量的综合运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．