Question

（09年西城区抽样文）（14分）

给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（Ⅱ）设，求直线l的方程.

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）解：由题意，得，直线l的方程为.

由, 得,

设A, B两点坐标为,  AB中点M的坐标为,

则,

故点                -----------3分

所以,

故圆心为, 直径,

所以以AB为直径的圆的方程为；     -----------6分

（Ⅱ）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧,

      所以,

设A, B两点坐标为, 则,

      所以                     1             

      因为点A, B在抛物线C上,

      所以,                    2     ---------10分

      由12，解得

      所以,      -------------13分

      故直线l的方程为或.-----------14分

   方法二：（Ⅰ）解：由题意，得，直线l的方程为.

由, 得,

设A, B两点坐标为,  AB中点M的坐标为,

因为所以,         

所以, 故圆心为,      --------------3分

由抛物线定义，得,

所以(其中p=2).

所以以AB为直径的圆的方程为；   ---------------6分

（Ⅱ）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧,

      所以,

设A, B两点坐标为, 则,

      所以                              1 -----------------9分 

      设直线AB的方程为或(不符合题意，舍去).

      由，消去x得 ，

      因为直线l与C相交于A, B两点，所以,

则, ,        2

      由12，得方程组，解得 或 ，---13分

      故直线l的方程为或.-------------14分