题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．
（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=
|PF2|2-|PF1|2
=2
5
，
故椭圆的半焦距c=
5
，
从而b2=a2-c2=4，
所以椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
已知圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以
x1+x2
2
=-
18k2+9k
4+9k2
=-2.
解得k=
8
9
，
所以直线l的方程为y=
8
9
(x+2)+1，
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且
x12
9
+
y12
4
=1，①
x22
9
+
y22
4
=1，②
由①-②得
(x1-x2)(x1+x2)
9
+
(y1-y2)(y1+y2)
4
=0.③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-4，y1+y2=2，
代入③得
y1-y2
x1-x2
=
8
9
，
即直线l的斜率为
8
9
，
所以直线l的方程为y-1=
8
9
（x+2），
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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