题目内容

在数列{an}中，已知a1=p＞0，且，n∈N
（1）若数列{an}为等差数列，求p的值．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（1）设数列{an}的公差为d，由题意知
d2=1
2a1d-d2=3
a12-a1d=2
，由此可知p=2．
（2）由题意知∴an+2•an+1=（n+2）（n+3），所以
an+2
an
=
n+3
n+1
，由此入手能够求出Sn=
(n+1)(n+3)
8
p+
(n-1)(n+3)
2p
，n为奇数
n(n+2)
8
p+
n(n+4)
2p
，n为偶数
．
解答：解：（1）设数列{an}的公差为d，
则an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd，
依题得：[a1+（n-1）d]（a1+nd）=n2+3n+2，对n∈N*恒成立．
即：d2n2+（2a1d-d2）n+（a12-a1d）=n2+3n+2，对n∈N*恒成立．
所以
d2=1
2a1d-d2=3
a12-a1d=2
，
即：
d=1
a1=2
或
d=-1
a1=-2

∵a1=p＞0，故p的值为2．
（2）∵an+1•an=n2+3n+2=（n+1）（n+2）
∴an+2•an+1=（n+2）（n+3）
所以
an+2
an
=
n+3
n+1

①当n为奇数，且n≥3时，
a3
a1
=
4
2
，
a5
a3
=
6
4
，
an
an-2
=
n+1
n-1
4．相乘得
an
a1
=
n+1
2
，5所以an=
n+1
2
p．当n=1也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，
a6
a4
=
7
5
an
an-2
=
n+1
n-1
相乘得
an
a2
=
n+1
3
，所以an=
n+1
3
a2∵a1•a2=6，所以a2=
6
p
．因此an=
2(n+1)
p
，当n=2时也符合．
所以数列{an}的通项公式为an=
n+1
2
p，n为奇数
2(n+1)
p
，n为偶数
．
当n为偶数时，
Sn=p+
6
p
+2p+
10
p
++
n
2
p+
2(n+1)
p
=p•
n
2
(1+
n
2
)
2
+
2
p
•
n
2
(3+n+1)
2

=
n(n+2)
8
p+
n(n+4)
2p

当n为奇数时，n-1为偶数，
Sn=Sn-1+an=
(n-1)(n-1+2)
8
p+
(n-1)(n-1+4)
2p
+
n+1
2
p=
(n+1)(n+3)
8
p+
(n-1)(n+3)
2p

所以Sn=
(n+1)(n+3)
8
p+
(n-1)(n+3)
2p
，n为奇数
n(n+2)
8
p+
n(n+4)
2p
，n为偶数
点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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