Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）当t＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当t＜1时，求函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）根据保值区间的定义，结合函数单调性与导数之间的关系，即可期初

解答： 解（1）当-2＜t≤0时，f'（x）=e^x（x²-x）≥0，此时f（x）的单调增区间为[-2，t]；
当0＜t＜1时，x∈（-2，0），f'（x）＞0；x∈（0，t），f'（x）＜0，此时f（x）的单调增区间为[-2，0]，减区间为[0，t]…（4分）
（2）函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．   …（5分）
证明如下：
假设函数g（x）存在保值区间[a，b]．g（x）=（x-1）²e^x，g′（x）=（x²-1）e^x
因x＞1时，所以g′（x）＞0，g（x）为增函数，所以

g(a)=(a-1)2ea=a g(b)═(b-1)2eb=b

即方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根．          …（7分）
设φ（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），φ′（x）=（x²-1）e^x-1，φ''（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1，φ''（x）＞0，所以φ′（x）在（1，+∞）上单增，又φ′（1）=-1＜0，φ′（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀＞1使得φ′（x₀）=0…（9分）
当x∈（1，x₀）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数，当x∈（x₀，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，
所以函数φ（x）在x₀处取得极小值．又因φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0，
所以φ（x）在区间（1，+∞）上只有一个零点，…（11分）
这与方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根矛盾．
所以假设不成立，即函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．  …（12分）

点评：本题主要考查函数单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系，解导数不等式是解决本题的关键．