Question

若一直线被两条已知直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程.

Answer 1

解析：根据题意：4x+y+6=0,3x-5y-6=0两条直线在y轴上的截距互为相反数,∴斜率存在.

解法一:设所求方程为y=kx,代入两直线

4x+y+6=0,3x-5y-6=0,∴4x+kx+6=0,x₁=－；3x-5kx-6=0,x₂=

∴x₁+x₂=0k=-∴l:x+6y=0.

解法二:设M、N两点在所求直线上，且M、N关于原点对称，

M点坐标为（x₀,y₀）,∴N(-x₀,-y₀),?

M在4x+y+6=0上,N在3x-5y-6=0上.?

∴4x₀+y₀+6=0①,-3x₀+5y₀-6=0②.?

∵M、N关于原点对称，∴所求直线过原点.?

①+②得x₀+6y₀=0,∴所求直线为x+6y=0.

解法三:设y=kx,

由(4x+y+6)(3x-5y-6)=0,?

∴(4x+kx+6)(3x-5kx-6)=0,(5k²+17k-12)x²-6(6k+1)x+6=0,?

Δ=36(36k²+12k+1)-24(5k²+17k-12)≥0,?

98k²+2k+27≥0,恒大于0.?

∴l:x+6y=0.

解法四:设直线的参数式为

∴4tcosα+tsinα+6=0,

3tcosα-5tsinα-6=0,

∵两点关于原点对称,∴t₁+t₂=0.?

∴5sinα-3cosα+4cosα+sinα=0?tanα=-.?

∴l:x+6y=0.