Question

下面有四个命题：
①若，为一平面内两非零向量，则⊥是|+|=|-|的充要条件；
②一平面内两条曲线的方程分别是f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0，它们的交点是P（x，y），则方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲线经过点P；
③经过一定点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；
④=2，则b=-1．
其中真命题的序号是     （把符合要求的命题序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：①由|+|=|-|平方，化简可得⊥；②把点P（x，y）的坐标代入方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0可得证；③用反证法可证；④把b=-1代入验证，可证．
解答：解：①充分性：|+|=，|-|=
∵|+|=|-|∴
即
∴⊥；必要性：∵⊥；∴
∴
∴|+|=|-|
②∵点P（x，y）是曲线f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0的交点
∴f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0
∴f₁（x，y）+f₂（x，y）=0
即方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲线经过点P；
③假设点P，直线l，过P点有PA，PB，…，PN都垂直直线l．
求证：PA，PB，…，PN都在同一平面内．
证明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l⊥面PAB．
设过点P的直线PN⊥l
且PN不在面PAB内
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l⊥面PAN．
则过点P有两个平面和l垂直
这与过一点只能有一个平面和一条直线垂直矛盾
∴假设PN不在面PAB内错误，原命题成立．
④若b=-1则
∵=2，∴b=-1
点评：解决有关向量模有关命题，平方是有效的解决策略和方法，证明两个向量垂直等价于它们的数量积为0；点的坐标是曲线方程的解，则点就在该曲线上；反证法证明问题的步骤和方法．属基础题．