题目内容

如图，正三棱锥S-ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点．
求：（1） $数学公式$ 的值；
（2）二面角S-BC-A的大小；
（3）正三棱锥S-ABC的体积．

解：（1）∵SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，
∴SM⊥BC，AM⊥BC．
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
3× $\text{[math]}$ BC×SM=2× $\text{[math]}$ BC×AM，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）作正三棱锥的高SG，
则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM= $\text{[math]}$ AM．
∵SM⊥BC，AM⊥BC，
∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角．
在Rt△SGM中，
∵SM= $\text{[math]}$ AM= $\text{[math]}$ ×3GM=2GM，
∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S-BC-A的大小为60°．
（3）∵△ABC的边长是3，
∴AM= $\text{[math]}$ ，GM= $\text{[math]}$ ，SG=GMtan60°= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴V_S-ABC= $\text{[math]}$ S_△ABC•SG= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）证明知，AM与SM分别是同底的两个三角形的高，故两线段长度的比即它们相应三角形面积的比，由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，三个侧面面积相等，易得两三角形的面积比．
（2）由（1）知，角SMA即二面角S-BC-A的平面角，故在三角形SMA中求解即可；
（3）由图形及（1）（2）的证明直接求出底面积与高用体积公式求体积即可求得体积．
点评：本题的考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查根据几何体的几何特征求二面角，求体积的能力，立体几何中求体积的题，其求解规律都是先研究几何体的形状，再根据几何特征选择求解的公式．故研究其几何特征是正确求解的关键．