Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率

2

2

，直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点N（-

1

2

，-l）．

Answer 1

分析：（I）由离心率为

2

2

得

c

a

=

2

2

，由直线l与圆相切得

2

12+(-1)2

=b，再由b²+c²=a²即可解得a，b值；
（Ⅱ）要证明直线AB过定点N（-

1

2

，-l），可证

NA

∥

NB

．设MA：y=k₁x+1，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证

NA

∥

NB

；

解答：解：（I）由已知得：

c a = 2 2 2 12+(-1)2 =b b2+c2=a2

，解得

a= 2 b=1

，
故椭圆方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k₁x+1，
由

x2 2 +y2=1 y=k1x+1

得：(1+2k12)x2+4k1x=0，
则xA=xA+0=-

4k1

1+2k12

，所以yA=k1xA+1=

1-2k12

1+2k12

，
所以A（-

4k1

1+2k12

，

1-2k12

1+2k12

），同理可得B（-

4k2

1+2k12

，

1-2k22

1+2k22

），
所以

NA

=(

1

2

-

4k1

1+2k12

，1+

1-2k12

1+2k12

)=（

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

，

2

1+2k12

），

NB

=(

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

，

2

1+2k22

)，
所以

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

•

2

1+2k22

-

2

1+2k12

•

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

=

2(k12-k22)+8(k2-k1)

(1+2k12)(1+2k22)

=

2(k1-k2)(k1+k2-4)

(1+2k12)(1+2k22)

=0，
故

NA

∥

NB

，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（-

1

2

，-1）．

点评：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量在解析几何中的应用，考查学生对问题的分析转化能力，考查转化思想．