Question

在直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，0），点M满足

MA

MB

=

2

，则直线AM的斜率的取值范围为

[-1，1]

．

Answer 1

分析：设M（x，y），根据

MA

MB

=

2

由两点间的距离公式化简得x²+y²-6x+1=0．设AM的斜率为k=

y

x+1

，可得y=k（x+1），代入前面的方程化简整理，得到关于x的一元二次方程．最后根据方程有实根利用根的判别式建立关于k的不等式，解之即可得到直线AM的斜率k的取值范围．

解答：解：设M（x，y），直线AM的斜率为k，可得
∵A（-1，0），B（1，0），∴MA=

(x+1)2+y2

，MB=

(x-1)2+y2

．
∵点M满足

MA

MB

=

2

，∴MA=

2

MB，即

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

，
两边平方，得（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²]，
化简整理得x²+y²-6x+1=0，
∵AM的斜率为k=

y

x+1

，
∴y=k（x+1），代入上式并化简得（1+k²）x²+（2k²-6）x+k²+1=0．
以上一元二次方程有实数解，可得△=（2k²-6）²-4（1+k²）²≥0，解之得-1≤k≤1．
即直线AM的斜率的取值范围为[-1，1]．
故答案为：[-1，1]

点评：本题给出点M满足的条件，求M的轨迹并讨论直线斜率的取值范围，着重考查了两点间的距离公式、直线的斜率公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．