题目内容
【题目】已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，离心率为
，过的直线
与椭圆
交于
，
两点，且
的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
与椭圆分别交于
，
两点，且
，试问点
到直线
的距离是否为定值，证明你的结论.
【答案】（1）
（2）是，证明见解析
【解析】
（1）由题意可知：
，
，即可求得
和
的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得
和
的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点
到直线
的距离是否为定值．
（1）由题意知，，
，
由椭圆离心率，则
.
椭圆
的方程；
（2）由题意，当直线的斜率不存在，
因为
，此时可设
，
.
又在
，
两点在椭圆上，
，
，
点到直线的距离
，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
.
设
，
联立方程组
，
消去
得：
.
由已知
，
，
，
由，则
，
即
，
整理得:
，
，
，满足，
点到直线的距离
为定值.
综上可知：点到直线
的距离
为定值.
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案【题目】第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 | 第26届亚特兰大 | |
中国 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄罗斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和
（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间
变化的数据：
时间 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
金牌数之和 | 16 | 44 | 76 | 127 | 165 |
作出散点图如图：
由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？
附：对于一组数据
， 
，…， 
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
