Question

【题目】如果定义在上的函数，对任意的，都有， 则称该函数是“函数”．

（I）分别判断下列函数：①；②； ③，是否为“函数”？（直接写出结论）

（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．

（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与

Answer 1

【答案】（I）①、②是“函数”，③不是“函数”; （II）的取值范围为;

（III），

【解析】

试题（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β 函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，验证。

（I）①、②是“函数”，③不是“函数”．

（II）由题意，对任意的，，即．

因为，所以．

故．

由题意，对任意的，，即．

故实数的取值范围为．

（Ⅲ）（）对任意的

（a）若且，则，，这与在上单调递增矛盾，（舍），

（b）若且，则，这与是“函数”矛盾，（舍）．

此时，由的定义域为，故对任意的，与恰有一个属于，另一个属于．

（） 假设存在，使得，则由，故．

（a）若，则，矛盾，

（b）若，则，矛盾．

综上，对任意的，，故，即，则．

（）假设，则，矛盾．故

故，．

经检验，．符合题意