Question

（2012•长宁区二模）棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于

π

3

，设D为BC中点．
（1）求这个棱锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线PD与AB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）棱锥的侧面积等于三个侧面的面积的和，体积利用V=

1

3

S△ABCPA即可求解；
（2）取AC中点E，连接DE，则∠PDE为异面直线PD与AB所成角（或其补角）．△PDE中，利用余弦定理可求异面直线PD与AB所成角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，两条侧棱与底面所成角都等于

π

3

，∴∠PBA=∠PCA=

π

3

，
∵AB=AC=1，∴PA=

3

，PB=PC=2，…．（2分）
∵D为BC中点，∴PD⊥BC，∴PD=

PB2-BD2

=

15

2

，…．（3分）
∴S侧=2×

1

2

×1×

3

+

1

2

×1×

15

2

=

4 3 + 15

4

，…．（5分）
V=

1

3

S△ABCPA=

1

4

…．（6分）
（2）取AC中点E，连接DE，

则DE∥AB，∴∠PDE为异面直线PD与AB所成角（或其补角）．…．（8分）
△PDE中，DE=

1

2

，PE=

13

2

，…．（10分）
设∠PDE=θ，则cosθ=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

15

10

，…．（12分）
因此异面直线PD与AB所成角的大小为arccos

15

10

．…．（14分）

点评：本题考查棱锥的侧面积和体积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．