Question

设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：(1)f(－1)＝f(1)＝0；(2)对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(Ⅰ)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(Ⅱ)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；

(Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y＝f(x)，且使得若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈[－1，1]时，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x， 　　即x－1≤f(x)≤1－x． 　　(Ⅱ)证明：对任意的u，v∈[－1，1]， 　　当|u－v|≤1时，有|f(u)－f(v)|≤|u－v|≤1． 　　当|u－v|＞1时，u·v＜0，不妨设u＜0，则v＞0且v－u＞1． 　　所以|f(u)－f(v)|≤|f(u)－f(1)|＋|f(v)－f(1)|≤|u＋1|＋|v－1|＝1＋u＋1－v＝2－(v－u)＜1． 　　综上可知，对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1． 　　(Ⅲ)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下： 　　假设存在函数f(x)满足条件，则由 　　|f(u)－f(v)|＝|u－v|，u，v∈[，1]得 　　|f()－f(1)|＝|－1|＝． 　　又f(1)＝0，所以|f()|＝．　　① 　　又因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0．由条件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]得 　　|f()|＝|f()－f(0)|＜．　　② 　　①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．