Question

若双曲线C₁与椭圆

x2

16

+

y2

25

=1有相同的焦点，与双曲线C₂：

x2

2

-y2=1有相同渐近线．
（1）求C₂的实轴长和渐近线方程；
（2）求C₁的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得C₂中：a=

2

，b=1，进而可得所求；
（2）法一：设所求的双曲线的方程为y2-

x2

2

=λ(λ＞0)，由题意可得关于λ的方程，解之可得；
法二：设C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可得

c=3 a b = 2 2 c2=a2+b2

，解之可得a，b，可得方程．

解答：解：（1）由题意可得C₂中：a=

2

，b=1，
故实轴长为2a=2

2

，渐近线方程y=±

b

a

x=±

2

2

x；…（5分）
（2）法一：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-

x2

2

=λ(λ＞0)…（6分）
即

y2

λ

-

x2

2λ

=1…（7分）
又∵双曲线与椭圆

x2

16

+

y2

25

=1有相同的焦点，
∴λ+2λ=25-16=9解得λ=3…（11分）
∴C₁的标准方程为

y2

3

-

x2

6

=1…（13分）
法二：设C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，…（6分）
可得

c=3 a b = 2 2 c2=a2+b2

求得 

a2=3 b2=6

…（11分）
∴C₁的标准方程为

y2

3

-

x2

6

=1…（13分）

点评：本题考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线的基本运算，属中档题．