Question

18．求函数y=$\frac{sinx}{2+cosx}$的最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 原函数可化为y=$\frac{sinx-0}{cosx-（-2）}$，可看作点（cosx，sinx）和（-2，0）连线的斜率k，由直线和圆相切可得．

解答 解：y=$\frac{sinx}{2+cosx}$可化为y=$\frac{sinx-0}{cosx-（-2）}$，
可看作点（cosx，sinx）和（-2，0）连线的斜率k，
由cos²x+sin²x=1可知点（cosx，sinx）在单位圆x²+y²=1上，
当过定点（-2，0）的直线与单位圆x²+y²=1相切与第三象限时k取最小值，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$消去y整理可得（k²+1）x²+4k²x+4k²-1=0，
由△=16k⁴-4（k²+1）（4k²-1）=0可得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函数y=$\frac{sinx}{2+cosx}$的最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查三角函数的最值，转化为直线与圆相切是解决问题的关键，属中档题．