Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1) 求证：BC⊥AD； (2) 若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值； (3) 设二面角A－BC－D的大小为,猜想为何值时，四面体ABCD的体积最大．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：取中点，连结、． 因为、都是边长为 4的正三角形， 所以，， 且． 所以平面， 又平面． 所以．－－－－－－－－5分
(2)	解：由(Ⅰ)知为二面角－－的平面角， 设＝，则过点作，垂足为 平面，且平面， ∴平面平面，又平面平面＝ ∴平面， ∴线段的长为点到平面的距离，即 又 在中，， 故二面角－－的正弦值为．－－－－－－－－－－－－－10分
(3)	解：当时，四面体ABCD的体积最大．－－－－－－－－－－－－－13分