Question

如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，且FG⊥GH，试问截面在什么位置时其截面面积最大．

Answer 1

分析：先证明截面EFGH是平行四边形，设AB=a，CD=b，∠FGH=α，再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得

x

a

=

CG

CB

  ， 

y

b

=

BG

BC

，两式相加可得y=

b

a

（a-x）．
截面面积S=FG•GH•sinα=

bsinα

a

•x•(a-x)，再利用基本不等式可得当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．

解答：解：∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH．
同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．
设AB=a，CD=b，∠FGH=α （a、b、α均为定值，其中α为AB与CD所成的角）．
再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得

x

a

=

CG

CB

  ， 

y

b

=

BG

BC

，
两式相加得

x

a

+

y

b

=1，即y=

b

a

（a-x）．
∴截面面积S=FG•GH•sinα=x•

b

a

(a-x)•sinα=

bsinα

a

•x•(a-x)．
∵x＞0，a-x＞0，且x+（a-x）=a为定值，∴

bsinα

a

•x•(a-x)≤

bsinα

a

•(

x+a-x

2

) 2=

ab•sinα

4

，
∴当且仅当x=a-x，即x=

a

2

时，取等号，即截面面积最大为S=

ab

4

sinα，
即当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．

点评：本题主要考查棱锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．