Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为

1

2

，满足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₂+4b₂=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{a_n}公差为d，由已知条件，利用等差数列和等比数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a_n=3n-1，b_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）由a_n•b_n=（3n-1）•(

1

2

)n，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）解：设{a_n}公差为d，
∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为

1

2

，
满足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₂+4b₂=6．
∴

a1+d=5 a1+2b1=3 a1+d+2b1=6

，
解得a₁=2，d=3，b₁=

1

2

，…（4分）
∴a_n=3n-1，b_n=（

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•(

1

2

)n，
∴Sn=2×

1

2

+5×(

1

2

)2+8×(

1

2

)3+…+（3n-1）×(

1

2

)n，①

1

2

Sn=2×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+（3n-4）•(

1

2

)n+（3n-1）•(

1

2

)n+1，②…（8分）
①-②得：

1

2

Sn=2×

1

2

+3×[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-（3n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1+3•

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(3n-1)•(

1

2

)n+1，…（10分）
整理得Sn=5-(3n+5)•(

1

2

)n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．