Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N^*）。
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式。

Answer 1

解：（Ⅰ）由等式a_n+2=4a_n+1-4a_n，
变形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵a₂-2a₁=4≠0，
从而a_n+1-2a_n≠0，
∴数列｛a_n+1-2a_n｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。
（Ⅱ）∵a_n+1-2a_n=4·2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴，且，
∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+(n-1)×1=n，
∴a_n=n·2ⁿ，（n∈N^*） 。