Question

如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a>0）

（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值。

Answer 1

解：（1）如图，在△ABC中，∵AB=1，BC=2，∠ABC=60°， ∴由余弦定理得 = ∴ ∴∠BAC=90°，即AC⊥AB 又在矩形ACEF中，AC⊥AF，且AF∩AB=A ∴AC⊥平面ABF， 又∵BF平面ABF， ∴AC⊥BF。 （2）∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，FA⊥AC， ∴FA⊥平面ABCD， 过点A作AG⊥BD于点G，连接FG，则FG⊥BD ∴∠AGF就是二面角F-BD-A的平面角， ∴∠AGF=60° 在△ABD中，由余弦定理得 由 在Rt△AGF中，∵∠AGF=60° ∴AF=AG·tan∠AGF= 即。