Question

2．下列命题中是假命题的是（　　）

• A． ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），x＞sinx
• B． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=2
• C． “?x∈R，3^x＞0”
• D． ?x₀∈R，x₀+$\frac{1}{x_0}$=-3

Answer 1

分析 利用导数法，可得：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=x-sinx＞0，可判断A；
求出sinx+cosx的取值范围，可判断B；
由指数函数的图象和性质，可判断C；
根据对勾函数的图象和性质，可判断D．

解答 解：令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
由f（0）=0得：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）＞0，即x＞sinx，故A为真命题；
sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，2∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故B这假命题；
由指数函数的图象和性质，可得“?x∈R，3^x＞0”，故C为真命题
x₀+$\frac{1}{x_0}$∈（-∞，-2]∪[2，+∞），-3∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故D为真命题，
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特特命题的判断，难度中档．