Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R
（1）求函数g（x）=f（x）-x的极值；
（2）若x∈R时，f（x）≥ax+1恒成立，求实数a的值；
（3）当a＞1时，求证：F（x）=f（x）-ax-1在区间（lna，2lna）上有且仅有一个零点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=e^x-1=0，得：x=0，由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）-x的极值．
（2）由题意得e^x≥ax+1恒成立，由此利用分类讨论思想能求出a=1．
（3）F（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，F′（x）=e^x-a，令F′（x）=e^x-a=0，得x=lna，由此利用导数性质结合已知条件能求出F（x）=f（x）-ax-1在区间（lna，2lna）上有且仅有一个零点．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-x=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=e^x-1=0，得：x=0，
当x＜0时，g′（x）=e^x-1＜0，函数y=g（x）在（-∞，0）上为减函数，
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，
函数y=g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴当x=0时，函数y=g（x）有极小值，极小值为g（0）=1，无极大值．…（3分）
（2）由题意得e^x≥ax+1恒成立，
①当x=0时，不等式e^x≤ax+1成立，这时a∈R；…（4分）
②当x＞0时，不等式e^x≥ax+1恒成立，即：a≤

ex-1

x

恒成立；
由（1）得当x＞0时，e^x-x＞1，∴e^x-1＞x，
∴

ex-1

x

＞1，解得a≤1；…（5分）
③当x＜0时，不等式e^x≥ax+1恒成立，即a≥

ex-1

x

恒成立；
由（1）可得当x＜0时，e^x-x＞1，∴e^x-1＞x，∴

ex-1

x

＜1，∴a≥1，…（7分）
综上得：a=1．…（8分）
（3）F（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，F′（x）=e^x-a，
令F′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
当x＜lna时，F′（x）＜0，函数y=F（x）在（-∞，lna）上为减函数；
当x＞lna时，F′（x）＞0，函数y=F（x）在（lna，+∞）上为增函数；
∵a＞1，lna＞0，∴F（lna）＜F（0）=0．…（11分）
下证：F（2lna）=a²-2ala-1＞0．令P（a）=a²-2alna-1，（a＞1）
p′（a）=2a-2lna-2=2（a-lna-1）．
下面证明：当a＞1时，a-lna-1＞0，
由（1）可得：当x＞0时，e^x-x＞1，即：e^x＞x+1，
两边取对数得：
x＞ln（x+1），令a=x+1＞1，即得：a-1＞lna，
从而a-lna-1＞0，p′（a）=2a-2lna-2=2（a-lna-1）＞0，
P（a）=a²-2alna-1在（1，+∞）为增函数，P（a）=a²-2alna-1＞P（1）=0，
即：F（2lna）=a²-2alna-1＞0，…（14分）
∵F（lna）＜0，F（2lna）＞0，由零点存在定理，
函数F（x）=f（x）-ax-1在区间（lna，2lna）必存在一个零点，（15分）
又∵函数y=F（x）在（lna，+∞）上为增函数，
∴F（x）=f（x）-ax-1在区间（lna，2lna）上有且仅有一个零点．…（16分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．