Question

（13分）（2011•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）+=1

解析试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）先把直线PF₂与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．
解：（Ⅰ）设F₁（﹣c，0），F₂（c，0）   （c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，
所以e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程PF₂为y=（x﹣c）．
A，B的坐标满足方程组，
消y并整理得5x²﹣8xc=0，
解得x=0，x=，得方程组的解为，，
不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．
所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．
圆心（﹣1，）到直线PF₂的距离d=，
因为d²+=4²，所以（2+c）²+c²=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．
所以椭圆方程为+=1．
点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．