Question

已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；
（3）若1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，我们不得得到参数a的值，进而得到函数的表达式；
（2）要判断从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1我们关键是构造a_n+1-a_n的表达式，结合其它已知条件解对应的不等组，即可求解．
（3）总有0＜a_n＜1成立，则数列的每一项，均符合要求，包括首项在内，由1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

，结合数学归纳法，即可求出满足条件的自然数N．

解答：解：（1）令x=1得2a=1，∴a=

1

2

．
∴f（x）=

1

2-x

．
（2）若a₁=3，由a₂=

1

2-a1

=-1，a₃=

1

2-a2

=

1

3

，a₄=

1

2-a3

=

3

5

，
假设当n≥3时，0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1?2-a_n＞0．
从而a_n+1-a_n=

1

2-an

-a_n=

(1-an)2

2-an

＞0?a_n+1＞a_n．
从第2项起，数列{a_n}满足a_n＜a_n+1．
（3）当1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

时，a₂=

1

2-a1

，得

m

m-1

＜a₂＜

m-1

m-2

．
同理，

m-1

m-2

＜a₃＜

m-2

m-3

．
假设

m-(n-1)+2

m-(n-1)+1

＜a_n-1＜

m-(n-1)+1

m-(n-1)

．
由a_n=

1

2-an-1

与归纳假设知

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_n＜

m-(n-1)

m-n

对n∈N^*都成立．
当n=m时，

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_m，即a_m＞2．
∴a_m+1=

1

2-am

＜0．
0＜a_m+2=

1

2-am+1

＜

1

2

＜1．
由（2）证明知若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1．
∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜a_n＜1成立．

点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．