题目内容

已知
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)
（1）当cosα=
4
5sinx
时，求函数y=
ON
•
PQ
的最小正周期；
（2）当
OM
•
ON
=
12
13
，
OM
∥
PQ
，α-x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．
（1）∵
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)，
所以y=
ON
•
PQ
=cos2x-sin2x+
4sinx
5cosα
．
又∵cosα=
4
5sinx
，
∴y=cos2x-sin2x+
4sinx
5cosα
=cos2x+sin2x
=cos2x+
1-cos2x
2
=
1
2
cos2x+
1
2
．
所以该函数的最小正周期是π．

（2）因为
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)
所以
OM
•
ON
=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=
12
13

∵α-x是锐角
∴sin(α-x)=
1-cos2(α-x)
=
5
13

∵
OM
∥
PQ

∴-cosαsinx+
4
5
-sinαcosx=0，即sin(α+x)=
4
5

∵α+x是锐角
∴cos(α+x)=
1-sin2(α+x)
=
3
5

∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）
=
3
5
×
12
13
-
4
5
×
5
13
=
16
65
，即cos2α=
16
65
．
练习册系列答案
相关题目
已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=
OM
•
ON
（O为坐标原点）．若f（x）的最小正周期为2，并且当x=
1
3
时，f（x）的最大值为5．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意的整数n，在区间（n，n+1）内是否存在曲线y=f（x）的对称轴？若存在，求出此对称轴方程；若不存在，说明理由．
已知
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)
（1）当cosα=
4
5sinx
时，求函数y=
ON
•
PQ
的最小正周期；
（2）当
OM
•
ON
=
12
13
，
OM
∥
PQ
，α-x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．
定义非零向量
OM
=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=(a，b)称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设h（x）=cos（x+
π
6
）-2cos（x+a）（a∈R），求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）（b≠0）满足：(a-
3
)2+(b-1)2=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
已知过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=
π
6
．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．

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