Question

已知过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=

π

6

．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

分析：（1）通过函数图象的一条对称轴的方程是x=

π

6

．推出f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），利用取x=

π

6

，整理得a=

3

b，求出离心率，求出焦点坐标然后求出直线方程；
（2））利用

OA

与

OB

是平面内的两个不共线的向量，由平面向量的基本定理，表示

OM

=λ

OA

+μ

OB

，设M（x，y），通过坐标运算，推出x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．代入椭圆方程，推出x₁x₂+3y₁y₂=0，由A，B两点在椭圆上，整理出λ²+μ²=1．根据圆的参数方程可知，总存在角θ，θ∈R使等式

λ=cosθ μ=sinθ

成立，就是

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．
得到结论．

解答：解：（1）函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是x=

π

6

．所以对任意的实数x都有f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），
取x=

π

6

得f（0）=f（

π

3

），整理得a=

3

b，
则椭圆的方程为x²+3y²=3b²…①．
于是椭圆C的离心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

1-( b a )2

=

1-( 1 3 )2

=

6

3

．
又椭圆的右焦点F（

2

b，0）
因为过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线，
∴直线AB的方程为：y=x-

2

b．
（2）

OA

与

OB

是平面内的两个不共线的向量，由平面向量的基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ．使得

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
设M（x，y），则（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂+y₂）．
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又M∈C，代入①式得（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展开整理得λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…②
由AB的方程可知x₁x₂+3y₁y₂=x1x2+3 (x1-

2

b)   (x2-

2

b)
=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2=3b²-9b²+6b²=0．
由A，B两点在椭圆上，所以x₁²+3y₁²=3b²．x₂²+3y₂²=3b²．
代入②式化简得λ²+μ²=1．
根据圆的参数方程可知，总存在角θ，θ∈R使等式

λ=cosθ μ=sinθ

成立．
即：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．
综上所述，对于任意一点M∈C，总存在角θ（θ∈R）使等式

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

点评：本题要求学生熟练运用构造角化简三角函数asinx+3bcosx，并熟练应用直线与圆锥曲线相交弦问题的解题方程，能够灵活运用设点法、韦达定理整体思想．简化运算：熟练运用平面向量基本定理和向量的坐标运算．考查计算能力，转化思想．