Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离等于$\frac{π}{2}$，若将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{3}$]上的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，求出函数的最大值即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）
又∵函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于$\frac{π}{2}$=$\frac{T}{2}$，
故函数的最小正周期T=π，
又∵ω＞0，∴ω=2
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位可得：
y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin2x；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z
故函数y=g（x）的减区间为[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z
当k=0时，区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]为函数的一个单调递减区间
又∵（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]⊆[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$）递增，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]递减，
故f（x）_max=f（$\frac{π}{4}$）=2，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．