Question

【题目】【2017镇江一模20】已知函数，（为常数）．

（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；

（2）若，且，证明：；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1），则且.1分

所以函数在处的切线方程为：，

从而，即.

（2）由题意知：设函数，则.

设，从而对任意恒成立，

所以，即，

因此函数在上单调递减，7分

即，

所以当时，成立.

（3）设函数，

从而对任意，不等式恒成立.

又，

当，即恒成立时，

函数单调递减.

设，则，

所以，即，符合题意；1

当时，恒成立，此时函数单调递增.

于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；13分

当时，设，

则1

当时，，此时单调递增，

所以，

故当时，函数单调递增.

于是当时，成立，不符合题意；1

综上所述，实数的取值范围为：.1