Question

（2008•上海模拟）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
求：（1）异面直线AD₁与EC所成的角
（2）点D到平面ECD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）证明取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角，再根据题意求出三角形的边长，进而利用解三角形的有关知识求出答案．
（2）设点D到平面ECD₁的距离为h，由VD1-DEC=VD-D1EC=

1

3

S△D1EC•h=

1

3

S△DEC•DD1，进而得到答案．

解答：解：（1）证明取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角------（2分）
因为AD=1，AB=2，并且Q为CD的中点，
所以AQ=

2

，
又因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
所以AD₁=

2

，QD₁=

2

，
所以△D₁AQ为等边三角形，∠D₁AQ=

π

3

-------------（5分）
所以异面直线AD₁与EC所成的角为

π

3

-------（6分）
（2）设点D到平面ECD₁的距离为h-----------（7分）
因为VD1-DEC=VD-D1EC=

1

3

S△D1EC•h=

1

3

S△DEC•DD1---------（9分）
所以

1

3

×1×

1

2

×2×1=

1

3

×

1

2

×

2

×

3

×h
所以h=

6

3

----------（11分）
所以点D到平面ECD₁的距离为

6

3

------------（12分）

点评：本题主要考查空间异面直线的夹角问题与点到平面的距离，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，再结合解三角形的有关知识求出答案即可，求点到平面的距离的方法：一般是利用等体积法或者借助于向量求解．