Question

已知椭圆的参数方程

X=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数），求椭圆上的动点P到直线

x=2-3t y=2+2t

（t为参数）的最短距离．

Answer 1

分析：设动点P（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式求出它到直线的距离d，再由及正弦函数的有界性求出答案．

解答：解：直线

x=2-3t y=2+2t

（t为参数） 即  2x+3y-10=0．椭圆

X=3cosθ y=2sinθ

 即

x2

9

+

y2

4

=1．
设椭圆上的动点P（3cosθ，2sinθ）到直线的距离等于
d=

|6cosθ+6sinθ-10|

4+9

=

|6 2 sin(θ+ π 4 )-10|

13

，
∵6

2

sin（θ+

π

6

 ）-10∈[-6

2

-10，6

2

-10]，∴

|6 2 sin(θ+ π 4 )-10|

13

∈[

10-6 2

13

，

10+6 2

13

]，
∴d的最小值为

10-6 2

13

．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，椭圆的参数方程，以及正弦函数的有界性．利用正弦函数的有界性求出d的最小值是本题的难点，属于中档题．