题目内容

    定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)= ．

    (1)求证：函数f(x)是奇函数；

    (2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；

    (3)在(2)的条件下解不等式：+＞0．

 

答案：
解析：

答案：(1)证明：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.

    令y＝－x，则f(x)+f(－x)==f(0)=0.

    ∴f(－x)＝－f(x)，

    即函数f(x)是奇函数．

    (2)证明：设x1＜x2∈(－1，1)，则

    f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=.

    ∵x1＜x2∈(－1，1)，

    ∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.

    因此，∴，即f(x1)＞f(x2).

    ∴函数f(x)在(－1，1)上是减函数．

    (3)解：不等式+＞0，化为＞.

    ∵函数f(x)在(－1，1)上是减函数，

    ∴

    解得：＜x＜－1.

    ∴原不等式的解集为{＜x＜－1．

 


练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表达式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．
已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表达式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．
已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，，
(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函数；
(Ⅱ)解不等式：；
(Ⅲ)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围。
已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网