Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式是f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表达式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，求得a的值，可得当x∈[-1，0]时，函数解析式是f（x）=

1

4x

-

1

2x

．设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，利用奇函数的定义可得f（x）=2^x-4^x，综上可得f（x） 的解析式．
（2）当x∈[0，1]时，设t=2^x，则1≤t≤2，f（x）=-4^x+2^x，利用二次函数的性质求得此时函数的
值域为[0，2]．再由奇函数的图象关于原点对称可得，可得当x∈[-1，0]时，函数的值域为[-2，0]．
综上可得，函数在[-1，1]上的值域．

解答：解：（1）由奇函数的定义和性质可得，f（0）=0，即 1-a=0，a=1，
故当x∈[-1，0]时，函数解析式是f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)=

1

4x

-

1

2x

．
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由题意可得 f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x=-f（x），
∴f（x）=2^x-4^x．
综上可得，f（x）=

1 4x - 1 2x  ，-1≤x≤0 2x- 4x， 0≤x≤1

．
（2）当x∈[0，1]时，设t=2^x，则 1≤t≤2，f（x）=-4^x+2^x=-t²+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
故当t=1时，f（x）取得最大值为 0，当t=2时，函数f（x）取得最小值为-2，
故此时函数的值域为[-2，0]．
再由奇函数的图象关于原点对称可得，可得当x∈[-1，0]时，函数的值域为[0，2]．
综上可得，函数在[-1，1]上的值域为[-2，2]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、奇函数的定义和性质，属于中档题．