Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），f（x）=2

a

•

b

+|

a

|
（1）写出函数f（x）的解析式
（2）求f（x）的单调区间
（3）若在[0，π]上f（x）=m有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积、模的计算公式、三角函数的两角和差、倍角、平方关系等有关公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出；
（3）利用三角函数的图象和性质即可求出．

解答：解：（1）f（x）=2

a

•

b

+|

a

|=2sinxcosx-2cos²x+

sin2x+cos2x

=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ解得kπ+

3π

8

≤x≤k+

7π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z）．
（3）由x∈[0，π]，得(2x-

π

4

)∈[-

π

4

，

7π

4

]，∴sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，∴f(x)∈[-1，

2

]，
如图所示：
要使f（x）=m在[0，π]上有两个不同的实根，则m取值范围是(-

2

，-1)∪(-1，

2

)．

点评：熟练掌握向量的数量积、模的计算公式、三角函数的两角和差、倍角、平方关系等有关公式、正弦函数的单调性、三角函数的图象和性质是解题的关键．