Question

计算：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx；
（2）

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

．

Answer 1

分析：（1）根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．
（2）首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把两个式子整理成最简形式，再把代数形式变化成三角形式，进行乘方运算，最后合并同类项，得到结果．

解答：解：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx表示的几何意义是：
以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内的四分之一个圆弧与坐标轴围成的面积，
∴∫

2

1

1-(x-1)2

dx=

1

4

×π×1=

π

4

（2）复数

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2 006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

=

-(2 3 -i)(1-2 3 i)

(1+2 3 i)(1-2 3 i)

+[

2 (1-i)

(1-i)(1+i)

]2006+0
=

13i

13

+[cos（-45°）+isin（-45°）]²⁰⁰⁶
=i+[cos（-2006×45°）+isin（-2006×45°）]
=i+（-cos90°+isin90°）
=2i．

点评：（1）本小题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．
（2）本小题考查复数代数形式的混合运算，考查考查复数的代数形式与三角形式的转化，考查复数的乘方运算，是一个比较简单的综合题目．